等比数列的通项公式
我们考虑下面这个数列，
$$ 2,4,8,16,32 $$
观察得知，这个数列的特点从第 $2$ 项开始，后一项除以前一项的商都相等，如 $4\div 2,8\div 4$，结果都等于同一个数 $2$。这个数列叫做等比数列。
我们用符号表示如下：
$$ a_1,a_2,…,a_n $$
$a_1$ 是第一项，$a_2$ 是第二项，$a_n$ 是第 $n$ 项，$n$ 是一共的项数，后一项除以前一项的商都相等，这个数叫做公比，符号用 $q$ 来表示。
求通项公式
既然符号都搞明白了，现在我要举例子来计算通项公式了，也就是求 $a_1$ 的表达式。我们已知 $a_1,q,n$，求 $a_n$ 的公式。
接下来我要举例子来观察这些项的规律。
如果 $n=1$，那么 $a_n=a_1$。
如果 $n=2$，那么 $a_n=a_2=a_1\times q$，这样做的原因是我们想把 $a_1$ 和 $q$ 放进公式里。
如果 $n=3$，那么 $a_n=a_3=a_1\times q^2$。
如果 $n=4$，那么 $a_n=a_4=a_1\times q^3$。
我们把上面的公式总结一下：
以此类推， $a_n$ 的表达式如下：
$$ a_n=a_1\times q^{n-1} $$
这就是我们要求的通项公式。
例子：
已知一个等比数列，前三项是 $2,6,18$，第 $7$ 项是几？
$a_1$ 是 $2$，$q$ 是 $6\div 2=3$（我用的是第二个数除以第一个数。当然，第三个数除以第二个数也是可以的，因为它是一个等比数列。），$n$ 是 $7$。
现在我们套等比数列的通向公式，
答：这个等比数列的第 $7$ 项是 $1458$。
我们可以根据这个通项公式来计算其他的东西，
比如：
求第一项的公式
已知，$n,a_n,q$，求第一项 $a_1$ 的公式：
已知
$$ a_n=a_1\times q^{n-1} $$
我们把两边同时除以 $q^{n-1}$，
$$ a_1=a_n\div q^{n-1} $$
例子：
已知一个等比数列的公比是 $3$，一共有 $7$ 项，第 $7$ 项是 $2187$，求第一项，
现在我们套等比数列的求第一项的公式，
答：第一项是 $3$。
求项数的公式
已知，$a_1,a_n,q$，求项数 $n$ 的公式：
我们先两边同时除以一个 $a_1$，再把它变成分数，
我们已知 $$ a_n=a_1\times q^{n-1} $$
我们再把两边同时除以 $a_1$，
$$ \frac{a_n}{a_1}=q^{n-1} $$
我们再取两边的对数（以 $q$ 为底数），
$$ \log_q \frac{a_n}{a_1}=\log_q q^{n-1} $$
我们在等号右边的式子 $\log_q q^{n-1}$ 进行计算，根据对数运算的指数法则 $\log_a n^x=x\times \log_a n$，我们得到
现在我要把 $n-1$ 带入上面的式子
$$ \log_q \frac{a_n}{a_1}=n-1 $$
说明： 我们选择底数是 $q$ 的原因是，因为 $\log_q q=1$，这样做计算更方便。
然后对上面的等式两边同时 $+1$，我们得到
$$ \log_q \frac{a_n}{a_1}+1=n $$
我们再把等号两边的位置交换一下，
$$ n=\log_q \frac{a_n}{a_1}+1 $$
例子：
已知一个等比数列的公比是 $4$，第一项是 $5$ ，最后一项是 $81920$，求项数。
现在我们套等比数列的求项数的公式，
答：一共 $8$ 项。
求公比的公式
已知，$a_1,a_n,n$，求公比 $q$ 的公式：
我们已知通项公式如下：
$$ a_n=a_1\times q^{n-1} $$
把等号两边同时除以 $a_1$，
$$ a_n\div a_1=q^{n-1} $$
我们再把等号左边的式子化成分数，
$$ \frac{a_n}{a_1}=q^{n-1} $$
我们根据分数指数定义得知：
$$ \left(\frac{a_n}{a_1}\right)^\frac{1}{n-1}=q $$
我们再把等号两边的位置交换一下，
$$ q=\left(\frac{a_n}{a_1}\right)^{\frac{1}{n-1}} $$
例子：
已知一个等比数列有 $9$项，第一项是 $6$ ，第 $9$ 项是 $1536$，求公比。
现在我们套等比数列的求公比的公式，
答：是 $2$。
Last updated 13 Feb 2026, 11:49 +0800 .