等比数列的求和公式

我先介绍一下符号，

这个求和公式的过程就是在解方程，

我们把 $s_n$ 和 $s_{n-1}$ 看作变量（如 $x$ 或 $y$）。

现在我们要列方程，

容易发现，$s_n$ 比 $s_{n}$ 多了一个 $a_n$ ，所以 $s_n-a_n$ 就等于 $s_{n-1}$，第一个方程如下：

$$ s_{n-1}=s_n-a_n $$

第二个方程我们可以借助 $q$ 来求，

我们在 $s_n$ 上提取一下$q$ 的公因式，

$$ s_n=a_1+q\times (a_1+…+a_1\times q^{n-2}) $$

观察得知，括号里的式子就是 $s_{n-1}$。

$$ s_n=a_1+q\times s_{n-1} $$

这就是第二个方程。

把两个方程写在一起，

因为要求 $s_n$，所以方程从 $s_{n-1}$ 带入 $s_n$

$$ s_n=a_1+q(s_n-a_n) $$

其中 $s_n$ 是要求的东西，也是变量，其他的东西是常量。我们把变量放在一起，常量放在一起。

我们先把两边同时减去一个 $a_1$，

$$ s_n-a_1=q(s_n-a_n) $$

我们再把括号拆掉，

$$ s_n-a_1=q\times s_n-q\times a_n $$

我们再把两边同时加上一个 $q\times a_n$，

$$ s_n-a_1+q\times a_n=q\times s_n $$

我们再把两边同时减去一个 $s_n$，

$$ -a_1+q\times a_n=q\times s_n-s_n $$

我们再把加法写在前面，减法写在后面，

$$ q\times a_n-a_1=q\times s_n-s_n $$

我们再合并一下 $s_n$ 的同类项，

$$ q\times a_n-a_1=(q-1)\times s_n $$

我们再把两边同时除以一个 $(q-1)$，

$$ (q\times a_n-a_1)\div (q-1)=s_n $$

我们再把 $s_n$ 写前面，

$$ s_n=(q\times a_n-a_1)\div (q-1) $$

把他写成分数，

$$ s_n=\frac{q\times a_n-a_1}{q-1} $$

我们再把分子和分母同时乘一个 $-1$，再把正的写在前面，负的写在后面。这样看更优美。

$$ s_n=\frac{a_1-q\times a_n}{1-q} $$

我们回顾等比数列通项公式：

$$ a_n=a_1+q^{n-1} $$

带入上面的公式，目地是让计算更简便，

$$ s_n=\frac{a_1-q\times (a_1+q^{n-1})}{1-q} $$

我们再提取一下 $q$ 的公因式，

$$ s_n=\frac{a_1-a_1\times q^n}{1-q} $$

我们再提取一下 $a_1$ 的公因式，

$$ s_n=\frac{-a_1\times (q^n-1)}{1-q} $$

我们再把 $-1$ 乘到括号里，

$$ s_n=\frac{a_1\times (1-q^n)}{1-q} $$

例子： 将下面的等比数列相加： $$ 2, 4, 8, 16, 32, 64 $$

计算：

检查：

答：是 $126$