考虑任意的等差数列，我们用如下方式来表达。 $$ a_1,a_2,a_3,…,a_n $$ $a_1$是第 $1$ 项，$a_2$ 是第 $2$ 项，$a_3$ 是第 $3$ 项，$a_n$ 是第 $n$ 项，$n$ 是自然数。它们的公差记作 $d$。

我们要计算 $a_n$ 的计算公式，我们把它叫作通项公式。

我们先观察规律。

$$ \begin{aligned} & a_1=a_1\\ & a_2=a_1+d\\ & a_3=a_1+2d\\ & a_4=a_1+3d \end{aligned} $$

等式左边的下标比右边的 $d$ 前面的数字多一。

所以

$$ a_n=a_1+(n-1) \times d $$

例子

我们用一个例子来说明这个公式的用法。

$$ \begin{aligned} & n=12, a_1=5, d=3\\ & a_n=5+(12-1) \times 3=5+11 \times 3=5+33=38 \end{aligned} $$

检查： $$ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38 $$ 所以第 $12$ 项是 $38$

利用上面的公式。

$$ \begin{aligned} & n=100, a_1=5, d=3\\ & a_{100} = 5+(100-1) \times 3=5+99 \times 3=5+297=302 \end{aligned} $$
所以第 $100$ 项是 $302$。

通项公式可以直接算出任意一项是多少。

应用

通项公式也可以用来计算其它东西。

我们用例子来说明。

利用上面的公式。
$$ \begin{aligned} & a_1=4, a_n=274, n=91\\ & 274=4+(91-1) \times d\\ & 274=+90d\\ & 274-4=270=90d\\ & d=270 \div 90=3 \end{aligned} $$
所以公差是 $3$

$$ \begin{aligned} & a_n=240, n=8, d=3\\ & 240=a_1+(8-1) \times 3\\ & 240=a_1+7 \times 3\\ & 240=a_1+21\\ & a_1=240-21=219 \end{aligned} $$
所以第一项是 $219$

$$ \begin{aligned} & a_n=280, a_1=4, d=4\\ & 280=4+(n-1) \times 4\\ & 280=4+4n-4\\ & 280=4n\\ & n=280 \div 4=70 \end{aligned} $$
所以最后一项是 $70$

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Last updated 13 Sep 2025, 16:58 +0800 . history