等差数列的求和公式

求和问题 link

已知一个任意的等差数列用符号表示为 ：$a_1,a_2,a_3,…,a_n$

其中 $a_1$ 是第一项，$a_2$ 是第二项，$a_3$ 是第三项，$a_n$ 是第 $n$ 项。$n$ 是自然数，$d$ 是公差，那么 $a_2-a_1=d$ 以此类推，$a_n-a_{n-1}=d$。

等差数列的求和问题是 ：$a_1+a_2+a_3+…+a_n$ 的和是多少?

观察 link

直接计算比较困难，我们可以利用通项公式来计算下面的结果。

观察得知，每组的和都相等，那么 $a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2}$

然后我们只需要算出一共有多少的这样的组，再用组的数量乘 $(a_1+a_n)$就等于 $a_1+a_2+a_3+…+a_n$ 的和。

分组 link

每两个数字为一组，按下面的方式进行分组。

第一组：$(a_1,a_n)$

第二组：$(a_2,a_{n-1})$

第三组：$(a_3,a_{n-2})$

以此类推，

要计算一共有多少组？

组的数量 link

我们考虑两种情况，分别是 $n$ 是偶数的情况和 $n$ 是奇数的情况。

我们先考虑偶数情况。

首先，$a_1,a_2,a_3,…a_n$ 有几个数字？

一共有 $n$ 个数字。

每两个数字为一组。

一共有 $n \div 2=\frac{n}{2}$ 组。

我们再考虑 $n$ 是奇数的情况

首先，$a_1,a_2,a_3,…,a_n$ 有几个数字？

一共有 $n$ 个数字。

因为 $n$ 是奇数，那么 $n-1$ 是偶数。

每两个数字为一组。一共有 $(n-1) \div 2=\frac{n-1}{2}$ 组 ，其中有一个数没成组。

现在我要算最后一组是什么。注意，最后一组是第 $\frac{n-1}{2}$ 组。

观察得知，

第一组是 $(a_1,a_n)$，下标是 $(1,n)$

第二组是 $(a_2,a_{n-1})$，下标是 $(2,n-1)$

第三组是 $(a_3,a_{n-2})$，下标是 $(3,n-2)$

以此类推。

第 $\frac{n-1}{2}$ 组的第一个数的下标是 $\frac{n-1}{2}$。

每组下标的和是 $n+1$，那么第 $\frac{n-1}{2}$ 组的下标是 $(\frac{n-1}{2}, \frac{n+3}{2})$。

那么，第 $\frac{n-1}{2}$ 组是 $(a_\frac{n-1}{2},a_\frac{n+3}{2})$。

接下来我要算没成组的数是几。

观察下标，$\frac{n-1}{2}$ 到 $\frac{n-3}{2}$ 之间有一个 $\frac{n+1}{2}$。所以，没成组的是 $a_{\frac{n+1}{2}}$。

求和 link

我们考虑两种情况。

第一种情况是 $n$ 是偶数。

每组的和是 $a_1+a_n$，一共有 $\frac{n}{2}$ 组。

所以，我们有

$$ a_1+a_2+a_3+…+a_n=(a_1+a_n) \times \frac{n}{2} $$

第二种情况是 $n$ 是奇数。

每组的和是 $a_1+a_n$，一共有 $\frac{n-1}{2}$ 组。注意：因为 $n$ 是奇数，前面说了，有一个数没有成组。所以求和的时候，最后要把没有成组的数加上去。

所以，我们得到 $$ a_1+a_2+a_3+…+a_n=(a_1+a_n) \times \frac{n-1}{2}+a_\frac{n+1}{2} $$

接下来要算 $a_\frac{n+1}{2}$ ，利用通项公式：

接下来把 $ a_{\frac{n+1}{2}}$ 的表达式换一种形式。

我们先进行通分：

我们再把 $a_1$ 拆开：

回顾通项公式 $a_n=a_1+(n-1) \times d$，上面的公式可以简化为：

我们发现，无论 $n$ 是奇数还是偶数，求和公式都不变。如下所示：

$$ a_1+a_2+a_3+…+a_n=(a_1+a_n) \times \frac{n}{2} $$

示例 link

我们知道 $5,6,…,50$ 是一个等差数列，它的公差是 $1$。它们一共有 $46$ 项，其中第一项是 $5$，最后一项是 $50$。即， $$ a_1=5,a_n=50,n=46 $$ 利用求和公式，我们得到：

我们知道， $$ a_1=123,d=7,n=51 $$ 根据通项公式，我们得到