我们可以直接计算。

$$ \begin{aligned} & 1+2+3+...+10\\ =~ & 3+3+4+...+10\\ =~ & 6+4+5+...+10\\ =~ & 10+5+6+...+10\\ =~ & 15+6+7+...+10\\ =~ & 21+7+8+...+10\\ =~ & 28+8+9+...+10\\ =~ & 36+9+10\\ =~ & 45+10\\ =~ & 55 \end{aligned} $$

它的求和问题是 $1+2+3+…+100$，直接计算比较麻烦，而且容易算错，所以我们用分组法。

一组两个数字，按下面的方式进行分组。 $$ (1,100),(2,99),(3,98),… $$ 因为数字数量是组的两倍。

所以一共有 $100 \div 2=50$ 组。

下面计算最后一组是什么。

最后一组的第一个数是 $50$

每组的和是 $101$

最后一组的第二个数是 $101-50=51$

最后一组是 $(50,51)$

每组的和是 $101$。

一共有 $50$ 组。

$$ \begin{aligned} & 1+2+3+...+100\\ =~ & 50 \times 101\\ =~ & 5000+50\\ =~ & 5050 \end{aligned} $$

它的求和问题是 $1+3+5+…+103$

我们继续用分组法。

一组两个数字，按下面的方式进行分组。 $$ (1,103),(2,102),(3,101),… $$ 一共有 $52$ 个数字。

数字的数量是组的数量的两倍。

所以一共有 $52 \div 2=26$ 组。

下面计算最后一组是什么。

每组的和是 $104$

第一组 $1,103$

第二组 $3,101$

第三组 $5,99$

我们现在要算第 $26$ 组第一个数字。

利用通项公式

$$ \begin{aligned} & a_1=1,n=26,d=2\\ & a_{26}=1+(26-1) \times 2=50+1=51 \end{aligned} $$
第 $26$ 组的第一个数是 $51$，第二个数是 $104-51=53$

最后一组是 $(51,53)$

每组的和是 $104$

一共有 $26$ 组。

$$ \begin{aligned} & 1+3+5+...+103\\ =~ & 26 \times 104\\ =~ & 2600+104\\ =~ & 2704 \end{aligned} $$

它的求和问题是 $1+2+3+…+101$

我们继续用分组法。

一组两个数字，按下面的方式进行分组。 $$ (1,101),(2,100),(3,99),… $$ 一共有 $101$ 个数字。

数字的数量是组的数量的两倍。

一共有 $101 \div 2=50…1$

下面计算最后一组是什么。

最后一组的第一个数是 $50$

每组的和是 $102$

最后一组的第二个数是 $102-50=52$

最后一组是 $(50,52)$

没成组的是 $51$

每组的和是 $102$

一共有 $50$ 组。

$$ \begin{aligned} & 1+2+3+...+101\\ =~ & 50 \times 102+51\\ =~ & 5100+51\\ =~ & 5151 \end{aligned} $$

它的求和问题是 $4+8+12+…+164$

我们继续用分组法。

一组两个数字，按下面的方式进行分组。 $$ (4,164),(8,160),(12,156),… $$ 一共有 $41$ 个数字。

数字的数量是组的数量的两倍。

一共有 $41 \div 2=20…1$

下面计算最后一组是什么。

每组的和是 $168$

第一组 $4,164$

第二组 $8,160$

第三组 $12,156$

我们现在要算第 $20$ 组第一个数字。

利用通项公式

$$ \begin{aligned} & a_1=4,n=20,d=4\\ & a_{20}=4+(20-1) \times 4=4+76=80 \end{aligned} $$
第 $20$ 组的第一个数是 $80$，第二个数是 $168-80=88$

最后一组是 $(80,88)$

没成组的数是 $84$

$$ \begin{aligned} & 4+8+12+...+164\\ =~ & 20 \times 168+84\\ =~ & 3360+84\\ =~ & 3444 \end{aligned} $$
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