一元一次方程的解法

我先讲一下一元一次方程的标准形式，

$$ ax=b $$

其中 $a,b$ 是常量，也就是我们已知的东西。$x$ 是变量，也就是我们要求的东西（$a$ 不能为 $0$）。

例子：

$$ 3x + 9 = 0 $$

求 $x$ 等于几？

我们先两边同时减去 $9$，

$$ 3x=-9 $$

这样就化成标准形式了，

我们再在两边同时除以 $3$，

$$ x=-9\div 3 $$

答：$x=-3$

很多时候题目给的例子不是标准形式，例如下面这道题

$$ -\frac{a}{x}+b=c $$

这种形式虽然看上去不是一元一次方程，但其实是可以化成一元一次方程的标准形式的。

那么该怎么化成标准形式呢？

我们介绍两种方法，

第一种方法 link

我们可以把 $-\frac{a}{x}+b=c$ 写为 $-a\times \frac{1}{x}+b=c$。

思路： 先把 $\frac{1}{x}$ 看成一个变量 $y$。然后把 $y$ 计算出来，再用 $1\div y$ 就等于 $x$。

原来的方程就变成了

$$ -a\times y+b=c $$

我们先移项，

$$ -a\times y=c-b $$

这就是标准形式了，因为我们现在在求 $y$，所以再两边同时除以 $-a$，

$$ y=(c-b)\div (-a) $$

再把等号右边的算式写成分数，

$$ y=\frac{c-b}{-a}=\frac{b-c}{a} $$

再算出 $1\div y$ ，因为 $1\div y$ 等于 $x$ ，

$$ x=1\div y=\frac{1}{\frac{b-c}{a}} $$

因为乘以一个数等于除以它的倒数，所以

$$ x=\frac{a}{b-c} $$

其中 $b-c$ 不能为 $0$。

第二种方法 link

$$ -\frac{a}{x}+b=c $$

两边同时乘 $x$，

$$ -a+bx=cx $$

两边同时减去 $cx$，

$$ -a+bx-cx=0 $$

在两边同时加上 $a$

$$ bx-cx=a $$

再合并同类项，

$$ (b-c)x=a $$

这就是标准形式了，两边同时除以 $b-c$，

$$ x=a\div (b-c)=\frac{a}{b-c} $$

其中 $b-c$ 不能为 $0$。

练习 link

已知 $\frac{a-b}{a+b}=\frac{1}{5}$，要求 $\frac{a}{b}=?$。

我们先把 $\frac{a-b}{a+b}$ 的分子分母同时除以 $b$，

$$ \frac{a-b}{a+b}=\frac{\frac{a}{b}-1}{\frac{a}{b}+1} $$

我们把 $\frac{a}{b}$ 看成变量 $x$，

$$ \frac{\frac{a}{b}-1}{\frac{a}{b}+1}=\frac{x-1}{x+1} $$

根据题目得知

$$ \frac{x-1}{x+1}=\frac{1}{5} $$

现在我们求解 $x$，先两边同时乘 $x+1$，

$$ x-1=\frac{x+1}{5} $$

我们再两边同时乘$5$，

$$ 5x-5=x+1 $$

两边同时减去 $x$，

$$ 4x-5=1 $$

两边同时加上 $5$，

$$ 4x=6 $$

现在就是标准形式了，我们再两边同时除以 $4$，

$$ x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} $$

答：$\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$。