练习5：符号数的组合

我们先考虑一些用符号表示的数，比如 $a_1,a_2,…,a_n$，其中 $a_1$ 是第一项，$a_2$ 是第二项，以此类推，$a_n$ 是第 $n$ 项。

我们可以按照一定的规则进行分组，然后计算这些组的数量。

接下来我们做一些数数练习。

注意:

1. 每组中的第一个数小于第二个数。
2. 数不能重复使用。

一共有 $2n$ 个数字。

而数字的数量是组的数的两倍。

一共有 $2n \div 2 = n$ (组)

下面计算最后一组是什么。

我们先看每组的第一个数字。

第 $1$ 组的第一个数: $1$

第 $2$ 组的第一个数: $2$

第 $3$ 组的第一个数: $3$

以此类推，

第 $n$ 组的第一个数： $n$

再算每组的第二个数字。

我们发现，每组的和是 $2n+1$。

那么，第 $n$ 组的第二个数是 $2n + 1 - n = n + 1$。

最后一组是 $(n, n+1)$。

因为数字的数量是组的数量的两倍。

所以一共有 $(2n+1)\div2=n…1$，也就是说有 $n$ 组，余 $1$ 个数字。

下面计算最后一组是什么。

先看每组的第一个数。

第 $1$ 组的第一个数是: $1$

第 $2$ 组的第一个数是: $2$

第 $3$ 组的第一个数是: $3$

以此类推，

第 $n$ 组的第一个数是: $n$

我们发现，每组的和是 $2n+2$。

那么，第 $n$ 组的第二个数是 $2n+2-n=n+2$。

所以，最后一组是 $(n,n+2) $。

因为 $n$ 和 $n+2$ 之间只有 $n+1$，所以没成组的数是 $n+1$。

1. 每组中的第一个数的下标小于第二个数的下标。
2. 数不能重复使用。

一共有 $n$ 个数字。

因为数字的数量是组的数量的两倍。

一共有 $\frac{n}{2}$ (组)

下面计算最后一组是什么。

先看每组的第一个数的下标。

第 $1$ 组的第一个数的下标是: $1$

第 $2$ 组的第一个数的下标是: $2$

第 $3$ 组的第一个数的下标是: $3$

以此类推，

第 $\frac{n}{2}$ 组的第一个数的下标是: $\frac{n}{2}$

我们发现，每组下标的和是 $n+1$。

那么，第 $\frac{n}{2}$ 组的第二个数的下标是 $n+1-\frac{n}{2}=\frac{n}{2}+1$。

所以，最后一组的下标是 $(\frac{n}{2}, \frac{n}{2}+1)$。

最后一组是 $(a_\frac{n}{2}, a_{\frac{n}{2}+1})$。

每两个数为一组。

那么有一个数没有成组。

所以有 $n-1$ 个数成组。

每两个数为一组。

一共有 $\frac{n-1}{2}$ 组。

下面计算最后一组是什么。

先看每组的第一个数的下标。

第 $1$ 组的第一个数的下标是: $1$

第 $2$ 组的第一个数的下标是: $2$

第 $3$ 组的第一个数的下标是: $3$

以此类推，

第 $\frac{n-1}{2}$ 组的第一个数的下标是: $\frac{n-1}{2}$

我们发现，每组下标的和是: $n+1$。

第 $\frac{n-1}{2}$ 组的第二个数的下标是: $n+1-\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}+1=\frac{n+3}{2}$。

所以，最后一组的下标是: $(\frac{n-1}{2},\frac{n+3}{2})$。

最后一组是: $(a_\frac{n-1}{2},a_\frac{n+3}{2})$。

下面看一看，哪个数没有成组。

我们先看下标。

从 $\frac{n-1}{2}$ 到 $\frac{n+3}{2}$ 一共几个数字？

第一个数字: $\frac{n-1}{2}$

第二个数字: $\frac{n+1}{2}$

第三个数字: $\frac{n+3}{2}$

我们知道最后一组的下标是 $(\frac{n-1}{2}, \frac{n+3}{2})$，那么没成组的下标是 $\frac{n+1}{2}$。

所以，没成组的数是 $a_{\frac{n+1}{2}}$。