练习4：数的组合

我们可以把一些数按照一定的规则进行分组，然后计算这些组的数量。

接下来我们来做一些关于“数的组合’’的数数练习。

一共有 $100$ 个数字。

每两个数字为一组。

一共有 $100 \div 2=50$ (组)。

一共有 $123$ 个数字。

每三个数字为一组。

一共有 $123 \div 3 = 41$ (组)。

我们用倒推法，最后一组的第三个数是 $123$，最后一组的第二个数是 $122$，最后一组的第一个数是 $121$。

那么，最后一组是 $(121,122,123)$。

我们先考虑更少的数，先观察规律。

考虑 $1, 2, 3, 4, 5$ 这 $5$ 个数字，按上面的方式进行分组，我们得到 $$ (1,2), (2,3), (3,4), (4,5) $$ 一共有 $4$ 组。

考虑 $1, 2, …,10$ 这 $10$ 个数字，按上面的方式进行分组，我们得到

考虑 $1,2, …,15$ 这 $15$ 个数字，按上面的方式进行分组，我们得到

根据上面的观察，我们发现，组的数量比数字的数量少 $1$。

我们再考虑原来的问题。

一共有 $100$ 个数字。因为组的数量比数字的数量少 $1$，所以一共有 $100-1=99$（组）。

我们用倒推法，最后一组的第二个数字是 $100$ ，最后一组的第一个数字是 $99$。

所以，最后一组是 $(99, 100)$。

注意:

1. 每组中的第一个数小于第二个数。
2. 数不能重复使用。

我们先考虑更少的数，先观察规律。

考虑 $1, 2, …, 10$ 这 $10$ 个数字，然后按上面的方式进行分组，我们得到

考虑 $1, 2, …, 20$ 这 $20$ 个数字，按上面的方式进行分组，我们得到

考虑 $1, 2, …, 30$ 这 $30$ 个数字，按上面的方式进行分组，我们得到

我们观察发现，数字的数量是组的数量的两倍。

我们再考虑原来的问题。

因为一共有 $100$ 个数字，所以组的数量是 $100 \div 2=50$ (个)。

下面计算最后一组是什么。

我们先看每组的第一个数字。

第 $1$ 组的第一个数: $1$

第 $2$ 组的第一个数: $2$

第 $3$ 组的第一个数: $3$

以此类推，

第 $50$ 组的第一个数: $50$

再算每组的第二个数字。

我们发现，每组的和是 $101$。

那么，第 $50$ 组的第二个数是 $101-50=51$。

所以，最后一组是 $(50,51) $。

注意:

1. 每组中的第一个数小于第二个数。
2. 数不能重复使用。

一共有 $101$ 个数字。

因为数字的数量是组的数量的两倍。

所以一共有 $101 \div 2 =50…1$

一共有 $50$ 组，余 $1$ 个数字。

下面计算最后一组是什么。

先看每组的第 $1$ 个数。

第 $1$ 组的第一个数是: $1$

第 $2$ 组的第一个数是: $2$

第 $3$ 组的第一个数是: $3$

以此类推，

第 $50$ 组的第一个数是: $50$。

然后算每组的第二个数。

观察到每组的和是 $102$，那么第 $50$ 组的第二个数是 $102 - 50 = 52$。

所以，最后一组是 $(50, 52)$。

因为 $50$ 和 $52$ 之间只有 $51$，所以没成组的数是 $51$。