练习3：符号表示的数

我们可以用如下符号来表示一列数。

$$ a_1, a_2, …, a_n $$

其中 $a_1$ 是第一项， $a_2$ 是第二项，以此类推。

那么 $a_n$ 是第 $n$ 项。所以上面一共有 $n$ 个数。

在上面的符号中 $1, 2, …, n$ 称为“下标”。

接下来我们做几道练习题。

因为下标的数量和符号的数量是对应的，所以我们只需要数下标的个数。

也就是说，我们可以考虑这个问题： $i, i+1, …, j$ 一共有几个数？

把每个数减 $i$。

得到的新的数列如下：

$0, 1, …, j - i$

这样不会改变原来数字的数量。

一共有 $j - i + 1$（个）。

补充说明

1. 为什么数“符号”只需要看下标？

   打个比方，把“符号”看成牛。一个符号 $a$ ，就是一头牛。 $a$ 的下标就是牛尾巴。每头牛都有一只尾巴，牛的数量和尾巴的数量是一样的。数牛的尾巴就可以了。所以，我们数这些符号时，只需要看它们的下标就可以了。

2. 为什么 $j$ 大于 $i$ ？

   举个例子。如果 $i = 10$， $j = 4 $，那么这些符号就是 $a_{10}, a_{11}, …, a_4$ 这个样子，这是没有规律的，所以没办法数它们的数量。我们希望的规律是，下标越来越大，而且下标每次增加 $1$ ，所以 $j$ 是要大于 $i$ 。

因为下标的数量和符号的数量是对应的，所以我们只需要数下标的个数。

也就是说，我们可以考虑这个问题：$1, 3, …, 2n+1$ 一共有几个数？

把每个数减 $1$ 。

得到新的数列如下：

$0, 2, …, 2n$

这样不会改变原来数字的数量。

把每个数除以 $2$ 。

得到的新的数列如下：

$0, 1, …, n$

这样不会改变原来数字的数量。

一共有 $n + 1$（个）。

因为下标的数量和符号的数量是对应的，所以我们只需要数下标的个数。

也就是说，我们可以考虑这个问题：$0, 2, …, n$ 一共有几个数？

把每个数除以 $2$ 。

得到的新的数列如下：

$0, 1,…, \frac{n}{2}$

这样不会改变原来数字的数量。

一共有 $\frac{n}{2} + 1$（个）。