次方的计算
考虑这样的问题： $a^n$ 怎么算，其中 $a$ 是给定的底数，$n$ 是给定的指数。
例如下面的式子，如何计算它们的结果。 $$2^3,~ 3^{-3}, ~5^{\frac{1}{3}}, ~2^{-0.5}, ~…$$
我们讨论如下几种情况：
- $n$ 是整数
- $n$ 是分数
- $n$ 是小数
整数
指数是正整数：
定义：指数是几，就有几个底数相乘。
例子：
接下来我们考虑一个比较复杂的例子：
指数是负整数：
定义：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
例子：
答案是 $\frac{1}{8}$。
例子：
$$ \left(\frac{1}{4}\right)^{-2}=? $$
方法一：
方法二：
答案是 $16$。
分数
定义： $a^\frac{1}{n}$ 满足如下条件，
$$ a^\frac{1}{n}\times a^\frac{1}{n}\times … \times a^\frac{1}{n}=a $$
上面的式子中，有 $n$ 个 $a^{\frac{1}{n}}$ 相乘。
指数是正分数：
已知 $n$ 都是一个整数，并且 $a>0$。
考虑这样一个问题：
$$ a^\frac{1}{n}=? $$
我们设一个变量，“$x$”。
$$ x=a^\frac{1}{n} $$
根据定义，
$$ a^\frac{1}{n}\times a^\frac{1}{n}\times … \times a^\frac{1}{n}=a $$
带入变量，得到下面的方程：
$$ x\times x\times … \times x=a $$
其中 $a$ 是已知的常数，我们要求解其中的 $x$。
方法： 我们大致猜一个数，再用这么多的 “$x$“相乘。结果比 $a$ 大，$x$ 就调小，结果比 $a$ 小，$x$ 就调大。（调到两位小数就可以了）。
我们再考虑一个更一般的问题，
$$ a^\frac{k}{n}=? $$
其中 $k$ 和 $n$ 是正整数。
我们先用上面的方法把 $a^\frac{1}{n}$ 算出来，假设答案是 $x$，那么再算 $x^k$ 就可以了。
例子：
答：是 $2.92$。
指数是负分数：
定义: $a^{-\frac{1}{n}}=\frac{1}{a^\frac{1}{n}}$，$n$ 是正整数。
我们考虑一个问题：
$$ a^{\frac{k}{n}}=? $$
方法： 先用定义把 $a^{-\frac{k}{n}}$ 改写为 $\frac{1}{x^\frac{k}{n}}$，再用正分数的方法来计算分母，假设答案是$y$，再用 $1\div y$ 就可以了。
举一个例子：
$$ 5^{-\frac{2}{3}}=? $$
思路： 先用定义算出 $5^{-\frac{1}{3}}$，再计算它的平方，假设答案是 $x$，再用 $1$ 去除以 $x$，就是最终答案了。
解题步骤：
答：是 $0.34$。
小数
指数是正小数： 例如，我们计算 $2^{1.3}=?$
我先介绍两个步骤：
1. 做拆分： 我们可以把 $2^{1.3}$ 拆成 $2^1\times 2^{0.3}$，这样做的目的是让计算变得更简便。
于是我们得到了下面的式子：
$$ 2^{1.3}=2^1\times 2^{0.3} $$
2.化分数：
$$ 2^{0.3}=2^\frac{3}{10} $$
因为 $0.1$ 是 $\frac{1}{10}$，所以 $0.3$ 是 $\frac{3}{10}$。这样做的目的是把指数的小数化成我们熟悉的分数。
完整的解题步骤如下：
总结两种步骤如下：
如果指数的小数大于 $1$ 我们先做拆分，如果指数的小数小于 $1$，直接进行化分数。
指数是负小数：
负小数和负分数差不多，只要利用负分数定义，所有的负小数都能算，然后再用正小数情况计算，假设答案是 $x$，再用 $1\div x$ 就可以了。
例子：
所以 $3^{-3.6}=0.01$。
Last updated 03 Feb 2026, 19:22 +0800 .